導(dǎo)語：如何才能寫好一篇不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關(guān)鍵詞：不等式；數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

一、不等式證明的三種基本方法

（1）比較法：主要有兩種作差比較和作商比較，做差主要是用兩個數(shù)相減和0作比較大小。即：[a-b>0?a>b]，如[a>b]則[a-b>0]；當(dāng)[b>0]時，[a>b?ab>1]。比證明的方法中比較法是最常用的方法，同樣也是最重要的一種方法，一般根據(jù)一些題設(shè)最終會轉(zhuǎn)化為等價的比較法。

（2）分析法：一些求證的不等式，往往看似無從下手，思路不顯而易見，這種情況選擇分析法探究證明途徑，尋找可以使不等式成立的條件。

（3）綜合法：從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形（恒等變形或不等變形）推導(dǎo)出要求證明的不等式。

二、思想方法

1.不等式中常見的基本思想方法

（1）等價轉(zhuǎn)化。比如說，高次冪函數(shù)除以高次冪函數(shù)時，同時除以同類項，將高次等價轉(zhuǎn)化為低次等。

（2）分類討論。當(dāng)在解決問題的過程中遇到棘手的問題時，分類討論是首先的方案，但是沒有遇到需要分類討論的問題是，一般不提前采用。

（3）數(shù)形結(jié)合。有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問題。

（4）函數(shù)方程思想。根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間。如“標(biāo)根法”實際上是一種函數(shù)方程思想。

2.證明不等式的常用方法

課本上介紹了一些常用方法，還有下列幾種解法：

（1）放縮法

[若證明A≥B，我們先證明A≥C，然后再證明C≥B，則A≥B。]

（2）反證法

[反證法是通過否定結(jié)論導(dǎo)致矛盾，從而肯定原結(jié)論的一種方法。]

（3）數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時，常用數(shù)學(xué)歸納法。此法高考中已多次考查。

（4）變量代換法

變量代換是數(shù)學(xué)中的一種常用的解題方法。在解題過程中往往會一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜，變化多并且關(guān)系很不清楚的不等式，這個時候就需要引進一些新的變量進行替代，從而簡化解題過程。具體技巧有局部代換、整體代換、增量代換等。

（5）函數(shù)方法

[通過利用函數(shù)的性質(zhì)]，如[單調(diào)性、凹凸性、有界性、實根存在]的條件等證明不等式的方法稱為函數(shù)方法。

（6）構(gòu)造方法

不等式證明中的構(gòu)造方法，主要是指通過引進合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)圖形及變量等輔助手段，從而使命題轉(zhuǎn)化，進而不等式得到證明。

總結(jié)：不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面：其中一類是不等式穿插在其它的數(shù)學(xué)問題中的一起考查，形式體現(xiàn)在求未知數(shù)的取值范圍，要想解決這類問題就必須進行等價轉(zhuǎn)化.值得注意的是必須要考慮到各考點之間的相互聯(lián)系，靈活的應(yīng)用不等式的各種方法.另一類不等式問題就是利用不等式來解決生活中的實際問題，這類問題的做題方法是應(yīng)認真審題，挖掘題中的內(nèi)在聯(lián)系，找出題中的隱含條件，然后根據(jù)具體的實際問題設(shè)想成為數(shù)學(xué)問題，再運用已學(xué)的有關(guān)知識對已經(jīng)建立起來的不等式的解決.總之，不等式既是一類高中數(shù)學(xué)題型，又是一種解決數(shù)學(xué)問題的一種方法。學(xué)好不等式就成為高考成功的必經(jīng)之路。

參考文獻：

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數(shù)列與不等式的鏈接是考試中的熱點話題，這類問題不僅能考查多方面的知識和技能、技巧，而且對于思維能力也提出了較高的要求，常成為試卷中的“制高點”。值得重視的有以下幾種類型：證明不等式；比較大??；研究單調(diào)性；求最值；求取值范圍等。證明不等式，分析法是證明不等式的一種重要方法，其作用不可小視。下面我們看一道例題。

2.均值不等式與函數(shù)結(jié)合

第一：函數(shù)與方程思想

（1）函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，起著重要作用。

（2）方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)。

高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查。

第二：數(shù)形結(jié)合思想：

（1）數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面。

（2）在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。

在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。

數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

第三：分類與整合思想

（1）分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法。

（2）從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)。

（3）劃分只是手段，分類研究才是目的。

（4） 有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性。

（5） 含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進行分類與整合的研究，重點考查學(xué)生思維嚴謹性與周密性。

第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想

（1）將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題。

（2）靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。

（3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化。

第五： 特殊與一般思想

（1）通過對個例認識與研究，形成對事物的認識。

（2）由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實踐到理論。

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認識過程。

（4） 構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。

（5） 高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向。

第六：有限與無限的思想：

（1）把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路。

（2）積累的解決無限問題的經(jīng)驗，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的方向。

（3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

（4）隨著高中課程改革，對新增內(nèi)容考查深入，必將加強對有限與無限的考查。

在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，隨著計算機的誕生和日益普及，教育教學(xué)也在不斷發(fā)展，因此教育技術(shù)也有了翻天覆地的變化。計算機科學(xué)技術(shù)把教學(xué)媒體與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，不但深化教學(xué)，加大信息容量，也提高課堂的教學(xué)效率。利用軟件資源，融合聲音、圖形、動畫、視頻等多種媒體信息傳授知識，使師生交流更方便、更快捷，使教育的目的更突出。

計算機輔助教學(xué)最大特點就是利用計算機技術(shù)的交互性有效地輔助教學(xué)，提高教學(xué)效率。人機交互是其他媒體所沒有的，在交互式教學(xué)環(huán)境中能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)欲望，從而有利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用。數(shù)學(xué)作為一個傳統(tǒng)的科目，課堂教學(xué)則要求學(xué)生在教學(xué)活動環(huán)境中通過積極的思考，不斷深入理解這門科學(xué)。如何合理地將計算機科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合已成為我們不斷探討和實踐的問題。

一、 運用計算機科學(xué)技術(shù)，輔助數(shù)學(xué)教學(xué)活動，突出輔

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)總結(jié)、教學(xué)練習(xí)都事先安排的，學(xué)生只能被動地參與這個過程。而利用計算機科學(xué)技術(shù)的交互性中學(xué)生則可以按照自己的基礎(chǔ)、興趣來選擇適合自己的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問題中計算機科學(xué)技術(shù)只是的一種手段和工具，起到輔助作用。比如說，數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）整個過程中模型求解，模型分析，模型檢驗這三部分都需要應(yīng)用到計算機科學(xué)知識。利用計算機科學(xué)技術(shù)解決科學(xué)計算，就是把實際問題轉(zhuǎn)換為程序，經(jīng)過對問題抽象的過程，建立起完善的數(shù)學(xué)模型，我們才能設(shè)計良好的程序解決問題，從中不難看出計算機科學(xué)技術(shù)中在數(shù)學(xué)建模中的重要性及密不可分的關(guān)系。但是在影響教學(xué)效果的多種因素中，計算機對于教學(xué)的僅僅只是一種“輔助”手段，而教師的責(zé)任感、良好的師生關(guān)系是任何計算機都無法替代的。

二、在計算機科學(xué)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境下，要正確處理好教師、學(xué)生、計算機三者的關(guān)系

數(shù)學(xué)知識是從生活實踐中提煉出來的，來源于生活，但比現(xiàn)實生活更嚴密、更精確，更抽象、更具有創(chuàng)造性。因此在傳授數(shù)學(xué)知識時應(yīng)盡可能地考慮學(xué)生的生活經(jīng)驗，把數(shù)學(xué)課堂與學(xué)生的生活經(jīng)驗有機結(jié)合起來，才能促進學(xué)生對知識的理解和掌握，計算機科學(xué)技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的這種過程，需要教師和學(xué)生與計算機之間相互學(xué)習(xí)，相互適應(yīng)時才可能發(fā)揮最佳的效果。

1.教學(xué)手段的改革性讓數(shù)學(xué)教學(xué)手段靈活起來。傳統(tǒng)的教學(xué)是由教師、學(xué)生和教材這三個要素構(gòu)成的，在現(xiàn)代化教學(xué)環(huán)境下還增加一個要素，這就是教學(xué)媒體。教育改革的理念是終身學(xué)習(xí)，教師要努力培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，還應(yīng)積極參加計算機方面的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，學(xué)習(xí)一些與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的軟件和先進的教育技術(shù)，并應(yīng)用到教學(xué)實踐中來，達到好的教學(xué)效果。例如：“幾何畫板”、“幾何專家”和“Frontpage”、“ Excel”、“ Powerpoint”這一類軟件通過計算機科學(xué)技術(shù)引入數(shù)學(xué)課堂，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)圖文并茂、增大信息量、動靜結(jié)合，有著傳統(tǒng)教學(xué)手段無法比擬的優(yōu)越性，使之能提高數(shù)學(xué)課堂的效率，突破教學(xué)難點。

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關(guān)鍵詞：構(gòu)造 構(gòu)造法 模型 不等式

1. 引言

近年來，有關(guān)不等式證明的題目愈來愈多地出現(xiàn)在各級數(shù)學(xué)競賽、高考中，是競賽、高考中熱門話題之一。不等式證明的方法很多，從化簡特征上看可分為兩大類：一是利用不等式的性質(zhì)及重要不等式；二是輔助方法，通過變量代換，構(gòu)造輔助元素（如圖形、函數(shù)、方程、代數(shù)式、反例等）來達到證明的目的。

構(gòu)造性解題方法（簡稱構(gòu)造法）是一個古老而又嶄新的科學(xué)方法，歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等，都曾運用這一方法解決過數(shù)學(xué)難題。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題需要解決時，常常通過深入分析問題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，要么把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來，要么將關(guān)系設(shè)想在某個模型上得到實現(xiàn)，要么將已知條件經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪壿嫿M合而構(gòu)造出一種新的形式，從而使問題等價轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的函數(shù)、方程和圖形等，再進行求解。構(gòu)造法本質(zhì)上屬于轉(zhuǎn)化思想的范疇，但它常常表現(xiàn)出簡捷、明快、精巧、新穎等特點，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強的創(chuàng)造性。運用構(gòu)造法證明不等式，重在“構(gòu)造”根據(jù)由已知條件與要證的結(jié)論所提供的信息進行聯(lián)想、類比，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過對這個數(shù)學(xué)模型的研究去實現(xiàn)原問題的解決。本文歸納總結(jié)了構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用，并就構(gòu)造函數(shù)模型、幾何圖形模型、數(shù)列模型、方程模型、代數(shù)式模型和向量模型五個方面進行了初步的探討。

2. 主要內(nèi)容

2.1構(gòu)造函數(shù)模型

我們常常利用一次函數(shù)的線性性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)證明某些不等式問題。在證明不等式時，抓住不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，以問題的結(jié)構(gòu)特征為起點，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，從函數(shù)的思想和方法來解決問題。

2.2 構(gòu)造方程模型

解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點就是它相應(yīng)方程的解，正是利用它們之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，可設(shè)法構(gòu)造方程來證明不等式。

例2若{a }是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S 是它的前n項的和，證明：S ?S ＜S。

分析：聯(lián)想到二次方程的=6 -4ac，因此可以試用構(gòu)造二次方程的辦法解決問題。

解：構(gòu)造一元二次方程S x +2S x+S =0?搖?搖?搖 ①

S 是正項數(shù)列前n項的和

說明：這里為解決有關(guān)數(shù)列差的問題，由聯(lián)想構(gòu)造出了一個一元二次方程，由于易于判斷它的根的性質(zhì)，從而達到了證明Δ＞0的目的，轉(zhuǎn)而證明了數(shù)列問題，這里就是典型的構(gòu)造法。

2.3 構(gòu)造幾何模型

把已知條件或要證不等式中的代數(shù)量直觀化為某個圖形中的幾何量，即構(gòu)造出一個符合條件的幾何圖形，便可應(yīng)用該圖形的性質(zhì)及相應(yīng)的幾何知識證明不等式。

例3正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA＜k 。

用構(gòu)造法，數(shù)形結(jié)合，得出此不等式的巧妙證法。

證明一：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，有所設(shè)條件聯(lián)想到構(gòu)造以邊長為k的三角形，如下圖所示：

證明二：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，由題設(shè)條件式聯(lián)想到以邊長為k的正方形。如下圖所示：

上面從代數(shù)和三角各舉了一例。從上面兩道例題足以說明：利用幾何圖形來證明不等式，不僅能使有關(guān)問題簡捷獲解，更重要的是能提供有效的幾何直觀，以加深對不等式實質(zhì)的理解。但在用這種方法時應(yīng)注意：

（1） 構(gòu)造幾何圖形不能盲目亂湊，要有正確的思考方法。從上面例子可得出總的思考原則：先尋找題目條件與所求問題中給出的各種式子的幾何含義，然后考慮可借用哪些有關(guān)的幾何概念和性質(zhì)，在這些基礎(chǔ)上進行設(shè)計，構(gòu)造出合適的幾何圖形。

（2） 此法不是對所有的代數(shù)或三角題都適用。因此，這種方法既要用得當(dāng)，又要解法比較簡便。這就要求我們所構(gòu)造出的幾何圖形比較簡單，切不要故弄玄虛，生硬拼湊出復(fù)雜的幾何圖形來解題。

2.4 構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a、b為不相等的正數(shù)，求證：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。

分析：利用向量的數(shù)量積不等式

|m|?|n|≥|m?n|。

證明：設(shè)m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的數(shù)量積不等式有|m|?|n|≥|m?n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m與n不是平行向量，故|m|?|n|＞|m?n|，|m| ?|n| ＞|m?n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。

2.5 構(gòu)造數(shù)列模型

例5求證：C+C+…+C＞n?2 。

分析：不等式左邊即為2 -1= ，從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是

將上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。

3. 總結(jié)

構(gòu)造法證明不等式涉及的內(nèi)容很廣，綜合應(yīng)用了轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合等多種思想方法。其構(gòu)造的形式也很多樣，例如構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造反例等也是常遇到的。這也充分體現(xiàn)了構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)價值：提高學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的敏感性和數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和審美能力。

參考文獻：

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【關(guān)鍵詞】均值不等式 幾何解題 應(yīng)用

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0164-01

1.均值不等式的基本知識

均值不等式應(yīng)用的先決條件是對己知條件或目標(biāo)不等式的相關(guān)項或因式進行分拆分組，使之符合均值不等式的結(jié)構(gòu)，而待定系數(shù)法則是幫助我們進行合理配湊的技巧之一，待定系數(shù)由配湊的目標(biāo)確定，它常依賴于等號成立的條件、與相關(guān)常數(shù)的吻合以及分組后的局部不等式的構(gòu)造[2]。也就是說，求待定系數(shù)的過程與應(yīng)用均值不等式的過程自然地統(tǒng)一起來了。

常見的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情況下，以什么數(shù)值出現(xiàn)時，其公式會產(chǎn)生什么變化，這些都需要謹記。

應(yīng)用最值定理必須注意：一正二頂三相等?！耙徽奔锤黜椈蚋饕蚴奖仨殲檎龜?shù)；“二定”即必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；“三相”等要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

2.均值不等式具體應(yīng)用

2.1用于平面幾何

各省市的高考試題中對均值不等式的考查，均以最值問題為背景，利用均值不等式求最值問題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例1：設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提條件a，b為正數(shù)。

點評：這道題從表面上看是簡單的幾何模型問題，但是在求解面積時涉及到面積的最大值，進而將集合問題轉(zhuǎn)換為均值不等式應(yīng)用問題。只有將求解中t放入根號中變?yōu)閠2，出現(xiàn)均值不等式的定值才能順利實現(xiàn)解題的目標(biāo)。

均值不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)解題及生活實際中有著廣泛的應(yīng)用。但是在實際的解題過程中，很多學(xué)生在遇到看似復(fù)雜的問題時不能靈活的使用不等式來解決問題。本文通過對均值不等式在幾何解題中的應(yīng)用研究，總結(jié)了均值不等式的基本知識，并在此基礎(chǔ)上分析均值不等式的具體應(yīng)用，希望以此對中學(xué)數(shù)學(xué)中均值不等式的理解和應(yīng)用有所幫助。

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關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 數(shù)與形 以形助數(shù)

以形助數(shù)就是把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來確定，借助形的生動直觀性來闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的.實際上，在某些問題上常用的方法就是數(shù)形結(jié)合，如有關(guān)集合問題，在正確理解集合的概念及運算意義的基礎(chǔ)上，合理運用文氏圖和數(shù)軸；常結(jié)合圖像去研究函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、值域等；結(jié)合圖像研究一系列與二次方程的根的分布有關(guān)的結(jié)論；利用二次函數(shù)的圖像直觀地處理與二次方程、不等式有關(guān)的問題；利用單位圓、三角函數(shù)的圖像研究三角函數(shù)問題；向量的基本概念和基本運算都可以與有向線段結(jié)合起來；在解線性規(guī)劃問題時常把約束條件轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域（可行域）而用一族平行直線ax+by=z表示目標(biāo)函數(shù)z=ax+by……由此可見數(shù)形結(jié)合在各個知識點中都被廣泛地運用著.靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義.下面從解題的對比說明問題.

1.與不等式有關(guān)的問題

例1：若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集為空集，求a的取值范圍.

這道題目是已知不等式的解集求未知的參數(shù)，是考查不等式解法的逆向運用，解這道題的一般思路是：先對a分類討論：（1）a≤0時，不等式的解集為空集，符合題意；（2）a＞0時，先求不等式有解時a的取值范圍：a＞1，從而得當(dāng)0＜a≤1時，原不等式的解集為空集.然后求出（1）（2）兩種情況的并集：當(dāng)a≤1時，原不等式的解集為空集.整個解題過程涉及分類討論，去絕對值，多次解不等式.按照這種方法去解題，易出錯，花費時間多.如果我們運用數(shù)形結(jié)合方法，顯然|x-4|+|3-x|=|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上的點x到3和到4的距離之和（圖1），其最小值為1.即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+ |3-x|＜a的解集為空集，只需a≤1所以a的取值范圍是a≤1.后一種方法明顯比前一種方法簡單、清楚，運算量小，出錯率低.

2.與函數(shù)有關(guān)的問題

例2：求函數(shù)y=的最大值和最小值.

解：y=，令A(yù)（2，0）、B（cosx，-sinx），點B在單位圓x+y=1上，y=k.由圖2可知：當(dāng)直線AB與單位圓相切時，斜率有最大值及最小值，容易求出k的最大值為，最小值為-.

3.與軌跡有關(guān)的問題

例3：設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8，求點M（x，y）的軌跡C的方程.

分析：如果純粹從向量的模的代數(shù)意義上考慮，||+||=8，可化為+=8，再通過移項，平方等步驟得出軌跡方程，整個方程需要兩次平方去根號，從學(xué)生解答的情況看，很容易出錯.如果從向量的模的幾何意義上考慮，+=8指的是動點M（x，y）到兩定點F（0，-2）、F（0，2）的距離之和為8.由橢圓的第一定義可知，軌跡C就是以F，F(xiàn)為焦點的橢圓，其方程是+=1.

這道題充分反映了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.有些問題比較特殊，采用常規(guī)方法來解，推理運算過程復(fù)雜，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法來解，就可以使推理運算過程簡化.有意識地開發(fā)并利用解析幾何中的“形”去思考、分析并解決問題，可以拓寬思路，有利于提高綜合運用知識分析問題、解決問題的能力.

4.與最值有關(guān)的問題

例4：若|z|=1，求|z+i|+|z-6|的最小值.

解：|z|=1，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點P在單位圓（如圖3），

|z+i|+|z-6|表示點P到A（0，-1），B（6，0）兩點之間距離的和，即：|z+i|+|z-6|=|AP|+|BP|≤|AB|=.

故|z+i|+|z-6|的最小值為.

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).我們在解題中充分應(yīng)用這種思想方法，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維會有很大的幫助.

參考文獻：

［1］蔡惠萍.數(shù)學(xué)通報.幾何圖形在代數(shù)解題中的應(yīng)用，2004.3：20-21.

［2］周潤玲.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.解析幾何中“形”的開發(fā)和利用，2004.1：21-22.

［3］吳翠紋.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.例談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用，2004.7：9-11.

［4］齊如意.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.巧用數(shù)學(xué)思想解不等式，2005.1：41-43.

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一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位與應(yīng)用

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化成一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”這就表明解題時若能挖掘問題的幾何意義配以適當(dāng)?shù)膱D形，就有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富想象，拓展思路，化繁為簡，化難為易，迅速找出解決問題的方法，提高分析和解決問題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

1數(shù)形結(jié)合思想與參數(shù)方程、不等式的關(guān)系問題

例1：討論關(guān)于x的方程x2-2|x|-3=a（a∈R）的實數(shù)解的個數(shù)。

解法一：（常規(guī)思路）因為方程中含有絕對值，所以分x≥0和x＜0來求解。方程比較復(fù)雜，對于大多數(shù)高中生而言是比較困難的。

解法二：（數(shù)形結(jié)合思想）把等號兩邊分別看成2個函數(shù)，即令f（x）= x2-2|x|-3 ，g（x）=a作出f（x）的圖象，函數(shù)g（x）是與y軸垂直的直線。觀察圖形可知：a＜-4時，兩圖形無交點，即原方程無解。a=-4時，兩圖形有兩個交點，即原方程有兩個解。-4＜a＜-3時，兩圖形有四個交點，即原方程有四個解。a=-3 時，兩圖形有三個交點，即原方程有三個解。a＞-3時，兩圖形有兩個交點，即原方程有兩個解。

結(jié)果表明：用常規(guī)的解題思想很難下手，可以說根本就沒辦法做出，而用數(shù)形結(jié)合思想則可以很準(zhǔn)確地得出答案，思路明確。

在參數(shù)方程中，我們還會遇到已知參數(shù)方程的解求參數(shù)的問題。我們同樣可以利用例1的方法，如例1就可以轉(zhuǎn)化為此類題型，由參數(shù)方程解的個數(shù)即為函數(shù)f（x）和g（x）圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖形就可求出參數(shù)a的取值范圍。

結(jié)果表明：用解法一這種常規(guī)思路來解答此類題比較復(fù)雜，容易出錯。而用數(shù)形結(jié)合的思想方法來分析、解決此類問題是比較方便、簡捷、一目了然的。

2數(shù)形結(jié)合與不等式的解

例2：設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＞2。

解法：（數(shù)形結(jié)合思想）作出函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|的圖象如圖，它與y=2的交點為（-7，2），（5/3，2）所以它的解集為x＞5/3或x＜-7。

結(jié)果表明：數(shù)形結(jié)合思想可以較快地把題解出。

例3：不等式的證明：已知a,b,c,d∈R,m=a2+b2+c2+d2,n=(a－c)2+(b－d)2，求證：m≥n。

證明：m=a2+b2+c2+d2=(a－0)2+(b－0)2+(c－0)2+(d－0)2，n=(a－c)2+(b－d)2，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)P(a,b),C(c,d),O(0,0)，由下圖可知，m=PO+CO≥n=PC(三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)O點在線段PC上取等號)。

3數(shù)形結(jié)合思想與最值、值域問題

例4：實數(shù)x，y滿足等式（x-3）2+y2=3，求y/x的最大值。

解法：（數(shù)形結(jié)合思想）可觀察y/x的結(jié)構(gòu)即為過點（x,y）與點（0,0）的直線的斜率k，而過點（0，0）的直線與圓相切時k最大。如圖所示：

設(shè)直線方程為y=kx，則d=3k/k2+1=3，所以k=2/2（取k＞0），所以y/x的最大值為2/2。

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一、柯西不等式的一般形式

二、柯西不等式與點到直線距離公式的聯(lián)系

筆者將通過對高中階段一道常見的最值題目進行研究，得到兩種“形很遠”而“神很近”的解法，進而找到柯西不等式與幾何中距離問題的聯(lián)系.

使用方法二處理時，若問何時取得最小值，還可以運用求兩垂直直線AB與OE交點的方法，得到最值在點E（15，25）處取得.

比較上面兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)：兩種解法的解題思路相去甚遠，一種是從代數(shù)的方向，使用柯西不等式；而另一種則是從幾何的方向，使用點到直線的距離公式.然而不論是最終的結(jié)論與還是中間的解題過程，兩種方法都是完全相似的.

那么，柯西不等式和距離之間是否有某些聯(lián)系呢？能否用柯西不等式證明平面內(nèi)一般性的點到直線的距離公式？空間上有點到平面的距離公式嗎，如何定義？

在高中數(shù)學(xué)必修二中，課本采用平面解析幾何的方式，求出過已知點垂直于已知直線的新直線的方程，再運用方程的思想，聯(lián)立方程組，求兩相交直線的交點坐標(biāo)，最終運用兩點的距離公式得到點到直線的距離公式：平面上的點P（x0，y0）到直線ax+by+c=0（a，b不全為0）的距離為d=|ax0+by0+c|a2+b2.然而，此方法雖然思路簡單，但證明過程卻非常繁瑣.下面筆者將運用柯西不等式證明平面上點到直線的距離公式.

三、運用柯西不等式類比導(dǎo)出點到平面的距離公式

我們知道柯西不等式不僅僅適用于二維的情況，三維乃至n維它仍然適用.由于高中階段對三維空間上的立體幾何也有比較高的要求，因此下面重點應(yīng)用三維的柯西不等式，得到類似于平面上點到直線距離公式的新的空間上點到平面的距離公式.

四、點到平面的距離公式在立體幾何中應(yīng)用

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在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，對“數(shù)形結(jié)合”、“由形到數(shù)”，解題時可以觀察圖形的特征以及數(shù)量關(guān)系?！皵?shù)”“形”“數(shù)形結(jié)合”思想不僅對于學(xué)生掌握知識變得統(tǒng)一，更是一種思維的訓(xùn)練與提高的過程。函數(shù)的單調(diào)性解決不等式、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)的思想對于解決方程根的分布問題。函數(shù)與解析幾何等等都會應(yīng)用到。但是傳統(tǒng)的教學(xué)中，重視表層知識的學(xué)習(xí)的現(xiàn)象弊端太多，數(shù)學(xué)學(xué)科是一種抽象思維的學(xué)習(xí)學(xué)科，不同于語言思維，過于感性化，不夠嚴謹與理性，而數(shù)學(xué)思維是抽象性、理性嚴謹?shù)闹R體系學(xué)科，如果不注重思維學(xué)習(xí)的方法，是不能達成教學(xué)效果和目標(biāo)的實現(xiàn)的，不利于對于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí),難以提高。

2.“數(shù)形結(jié)合思想”在實際生活中的應(yīng)用

將實際問題轉(zhuǎn)化，運用數(shù)形結(jié)合的思想去解決。“數(shù)形結(jié)合”思想可以幫助理解抽象的問題，會在實際生活中有很大的應(yīng)用。“數(shù)形結(jié)合”的思想不僅在教學(xué)中有用，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決現(xiàn)實生活中的問題有很大的幫助。例如：對于在實際生活的中，需要地域500元購入60元的單片軟件3片，需要購入70元的磁帶2個，額選購方式有幾種？其實這樣的題目就是對于數(shù)形結(jié)合思想、排列以及數(shù)學(xué)中不等式的解法的考查，那么只要設(shè)需要軟件x片，需要磁帶y盒，然后列出不等式，相反，如果用列舉法一一列出，是可以解決的，但是過程就會變得麻煩。因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想對實際問題的解決作用是很大的。

3.“數(shù)形結(jié)合思想”在幾何當(dāng)中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)中對于“數(shù)形結(jié)合”思想對于直線、四方形、圓以及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中的特點，都可以在圖形中尋找解題思路。不論是找對應(yīng)的圖像，以及求四邊形面積等的幾何問題都有很大的應(yīng)用。例如：已知正方形ABCD的面積是30平方厘米，E，F(xiàn)是邊AB，BC上的兩點，AF，CE并且相交與G點，并且三角形ABC的面積是5平方厘米，三角形BCE的面積是14平方厘米，要求的是四邊形BEGF的面積。在求解過程中，結(jié)合圖形，連接AC\BG并設(shè)立方程可巧妙求解?？梢?，在具體實際的幾何中的分析與思考，運用到數(shù)形結(jié)合思想就會將問題變得簡單。

4.結(jié)語

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優(yōu)良菌用樹種浙江潤楠的育苗造林技術(shù)

一種超奇異橢圓曲線上的Tate對的JAVA實現(xiàn)

一類三次系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性

Jordan不等式的進一步改進及證明

葛根多糖抑菌活性的測定

優(yōu)秀跳遠運動員助跑速度特性分析

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與時俱進構(gòu)建高校內(nèi)部教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控體系

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例談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的策略

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開放教育“計算機應(yīng)用基礎(chǔ)”課程的教學(xué)探討

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尖葉木犀欖葉片的石蠟切片制作

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一、引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法遠比掌握一般的數(shù)學(xué)知識要有用的多.轉(zhuǎn)化思想是我們解決問題經(jīng)常采用的一種方法，它也是一種最基本最重要的思想方法.轉(zhuǎn)化思想又稱轉(zhuǎn)換或化歸思想，是一種把待解決的問題經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去.能掌握并合理利用這種方法，將對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、解題方法的灌輸?shù)犬a(chǎn)生重大而深遠的影響.

二、轉(zhuǎn)化思想的概念

1.轉(zhuǎn)化思想的定義

從轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)上講，轉(zhuǎn)化思想可分為等價轉(zhuǎn)化思想和非等價轉(zhuǎn)化思想.等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，即舊問題通過轉(zhuǎn)化成新問題的過程中不需要限制條件，新舊問題完全等價，這種轉(zhuǎn)化思想就叫做等價轉(zhuǎn)化思想。必要的驗證，不等價轉(zhuǎn)化在明確附加限制條件后也有等價轉(zhuǎn)化同樣的意義和應(yīng)用.

2.轉(zhuǎn)化思想遵循的基本原則

（1）、熟悉化原則.就是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，利于我們應(yīng)用熟知的知識、經(jīng)驗來解決問題.

（2）、和諧化原則.指轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其成為有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合的思維規(guī)律.

（3）、簡單化原則.就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

三、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的范圍

當(dāng)人們面臨一些新問題，用正規(guī)的思維方法不能解答時，我們就需要轉(zhuǎn)化為我們熟知的已解決問題中，從而使未解決的問題變得熟悉和簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的熟悉化原則.

1.轉(zhuǎn)化思想在集合中的應(yīng)用

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和工具，可見其重要性.在解決一些集合問題時從集合的表達形式不好入手，就需要進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到我們所學(xué)過的知識上，這樣便能迅速的得到解決問題的思路，如：是的子集可以轉(zhuǎn)化為、等.

說明：點的交集問題往往可轉(zhuǎn)化為曲線之間的公共點問題，進而轉(zhuǎn)化為方程組求解的問題，或者使用數(shù)形結(jié)合的思想將問題的題設(shè)和結(jié)論轉(zhuǎn)化到圖形中，使問題直觀形象化，從而有利于問題的解決.

2.轉(zhuǎn)化思想在方程、不等式中的應(yīng)用

可以說每個方程、不等式的解決都滲透了轉(zhuǎn)化思想，將方程和不等式中的未知數(shù)向已知數(shù)轉(zhuǎn)化就是一個典型的轉(zhuǎn)化，當(dāng)然在解題的過程中轉(zhuǎn)化思想也隨處體現(xiàn)，例如：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式等等.

說明：在解分式方程或分式不等式時都要轉(zhuǎn)化為整式方程或整式不等式，在轉(zhuǎn)化的過程中注意原式分母的取值情況.

3.轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用

在解決代數(shù)問題時我們常用到數(shù)形結(jié)合的思想，即由代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形，而在解決幾何問題時，我們所用到是形與形之間的轉(zhuǎn)化，即在一個大圖形中實行局部圖形之間的轉(zhuǎn)化或是在多個圖形中根據(jù)相似、全等等特征實行線段與線段、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)化.

例3 如圖4-1所示，是半圓的直徑，過作的垂線，在這垂線上任取一點，過作半圓的切線，為切點.作，連結(jié)交于，求證：.

分析：由題意，，，.則是的位似對應(yīng)線段（以為位似中心，以為位似比）.欲證點為的中點，只需證明點為的位似對應(yīng)線段的中點即可.連結(jié)并延長與的延長線交于，連結(jié)， 為半圓直徑，，，為直角三角形，欲證，只需證即可.、同為切線，，只需要證明.即要證，又，，于是問題解決.

證明（略）.

說明：在上述解決幾何問題的過程中，我們用到了線段與線段之間的轉(zhuǎn)化思想，這種轉(zhuǎn)化方式稱為線段的位似轉(zhuǎn)化，通過線段之間的聯(lián)系將未知線段通過已知線段求解出來.位似轉(zhuǎn)化思想在圖形與圖形的轉(zhuǎn)化中也是適用的.

例4 求證等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于腰上的高.

已知：在中，，是上任一點，交于，交于，交于.求證：.

說明：利用面積法解決圖形中的線段關(guān)系，從已知條件出發(fā)，使未知條件與已知條件聯(lián)系在一起，找到解題的思路，從而解決未知問題.

五、結(jié)論

1.意義

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想. 轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程，是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較輕易解決的問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓，它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個領(lǐng)域和解題過程的各個環(huán)節(jié)中.

2.局限性

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用廣泛，無論是數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、形與形之間的轉(zhuǎn)化還是數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化都是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用滲透于代數(shù)和幾何兩個學(xué)科的方方面面，本篇論文只是針對其中重要的幾個方面做論述，未涉及到數(shù)學(xué)的整個領(lǐng)域.