導(dǎo)語(yǔ)：不定方程3+2y3=3解析一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：本文用初等方法，對(duì)不定方程+2=3的整數(shù)解進(jìn)行探究，得到了方程++=3的若干整數(shù)解。

關(guān)鍵詞：不定方程；整數(shù)解；整除；初等方法

一、引言

文[1]對(duì)許多不定方程作過(guò)探討，其中不定方程

++=3（1）

的整數(shù)解問(wèn)題是遺留問(wèn)題之一。

顯然，若不定方程

+2=3（2）

有整數(shù)解，則（1）一定有整數(shù)解。

因此我們先對(duì)不定方程（2）的整數(shù)解進(jìn)行探究，然后導(dǎo)出不定方程（1）的若干整數(shù)解。

二、關(guān)于不定方程+2=3的整數(shù)解

將方程（2）變形為

-1=-2(-1)（3）

即

(-1)[(-1)2+3(-1)+3]=-2(-1)[(-1)2+3(-1)+3]

則

(+3+3)=-2(+3+3)

易知，=0當(dāng)且僅當(dāng)=0。

此時(shí)方程（2）的一組整數(shù)解為()=(1,1)。

下面我們考慮≠0的情形?？稍O(shè)=+3+3=-2(+3+3)

這里為非負(fù)有理數(shù)。于是有(23+1)+3(22+1)+6+3=0（5）

考慮到方程的判別式

€HU=9(22+1)2-4(23+1)(6+3)

=-3(44+83-122+8+1)≥0

得44+83-122+8+1≤0（6）

記=44+83-122+8+1，有=163+242-24+8=2(83+1)+6(2-1)2

當(dāng)≥時(shí)，>0，

故在[,+∞)上遞增。

但=1>0，因此，若（6）成立，必須<0。

又由方程（3）知，當(dāng)>1,>1及當(dāng)≤0,≤0時(shí)，方程均無(wú)整數(shù)解。

(一)設(shè)>1且≤0，當(dāng)=-2,3,4…20時(shí)，方程（2）均無(wú)整數(shù)解，故>20。

由（4）中=，即=-+1，得=-1>0，這說(shuō)明關(guān)于遞增。當(dāng)≤-1時(shí)，≤|=-+2<-0.9。若方程（2）有整數(shù)解，則=3-2>3-2(-0.9)3，即0.458+3<0。這與為正整數(shù)矛盾。

（二）設(shè)≤0且>1，由（4）中=，即=-+1，得=-1<0，這說(shuō)明關(guān)于遞減。當(dāng)≤-1時(shí)，≥|=-+2<-。若方程（2）有整數(shù)解，則=3-2>3-2(-)3，即+3>0。這與為負(fù)整數(shù)矛盾。

綜上，若方程（2）有整數(shù)解，則有理數(shù)必須滿足-1<<0。

如取=-，代入（5）解得=-6。這時(shí)方程（2）的又一組整數(shù)解為()=(-5,4)。

因此，由不定方程（2）的整數(shù)解()=(1,1)，(-5,4)可導(dǎo)出不定方程（1）的四組整數(shù)解為(,)=(1,1,1)，

(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)